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你那不確定的未來

文 / 一流人    
2018-03-09
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你那不確定的未來
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我們都相信宇宙是根據一套法則開展的。既然如此,為什麼會有這麼多事情是無法預測的呢?保羅.戴維斯(Paul Davies)解釋說,這問題的答案深刻得驚人。

所有科學都是建立在「物理世界是有秩序的」這個假設上,而物理定律是這個秩序最強大的體現。沒有人知道這些定律從何而來,也不知道這些定律為什麼顯然普遍又永恆地運作,但我們確實在我們的周遭看到它們在發揮作用。我們在白天與黑夜的節奏裡、在行星運動的模式裡,以及在時鐘規律的滴答作響中,看見它們。

然而,自然規則的可靠性並非普遍存在的。變幻莫測的天氣、天翻地覆的地震,或是從天而降的隕石,似乎都是隨意和偶然的。不足為奇的是,我們的祖先把這些事歸咎於上帝的心情。但是,我們該如何把這些明顯是隨機的「上帝行為」,與宇宙的定律調和在一起?

古希臘哲學家認為,這個世界是有序力量和失序力量之間的戰場。前者誕生了宇宙,後者造就了混沌。他們認為,隨機或無序的過程裡有負面、邪惡的影響。今天,我們不再認為自然的偶然性是惡意的,它們只是混沌。偶然事件可能有建設性,就像生物演化那樣;或者它也有破壞性,例如當飛機因為金屬疲勞而墜毀時。

雖然個別的偶然事件,可能讓人對它產生脫序的印象,但總體來說,沒有秩序的過程仍可能表現出統計規律。事實上,賭場經理對於偶然律懷抱的信心之強大,就像工程師對物理定律一樣有信心。但是,這引起了一些悖論:為什麼相同的物理過程會遵守物理學定律,同時又遵循偶然律?

當牛頓在17世紀提出力學定律後,科學家便一直習慣把宇宙看成是一台巨大的機器。這個學說最極端的形式,在19世紀被皮耶.西蒙.拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace)以驚人的態勢加以詮釋。他想像每一個粒子,都牢牢鎖在嚴格數學運動定律的空間裡,這些定律主宰了一切,甚至主宰了最細微的細節,也就是最小原子的行為。拉普拉斯認為,根據牛頓定律,在宇宙任何的一個瞬間下,整個宇宙的未來都將以無比的精準度,被唯一地固定下來。

宇宙是一座被嚴格決定的機器,被永恆的定律所主宰,這觀念深深影響了科學的世界觀,赤裸裸地與舊的亞里斯多德式宇宙觀形成強烈對比;後者將宇宙視為一個活生生的有機體。機器可以沒有「自由意志」,它的未來從時間誕生之初就被嚴格決定了。事實上,時間在這幅圖像裡不再有太多物理的意義,因為未來已包含在現在之中。伊利亞.普里高津(Enlya Prigogine)是布魯塞爾大學的理論化學家,也是諾貝爾獎得主,他最近出色地表達了這一點。他說,上帝被簡化成一個檔案管理員,不斷翻著已被寫好的宇宙歷史書。

在這幅有點乏味的機械畫面中,隱含了自然並沒有真正的偶然過程。對我們來說,事件可能是隨機的,但卻是合理的,而這可能得歸咎於人類對過程的細節十分無知的關係。以布朗運動來說,我們可以在液體中觀察到懸浮的微小粒子,它們運動的路徑呈現隨意的鋸齒形。這是因為它們受到不均勻的震動,而這些震動來自撞擊它們的液體分子。布朗運動是一種典型隨機、不可預測的過程。不過,爭論也可以繼續延燒下去。如果我們能夠詳細追蹤所有分子的活動,布朗運動便有可能像發條一樣,是可以預測和可確定的。表面上看起隨機運動的布朗粒子,完全是因為我們對於參與其中數不清的分子欠缺資訊,這是因為我們的感官太過粗糙,無法在分子層次上觀察到細節。

長久以來,人們普遍認為,表面上看來「偶然」的事件,其實都是因為我們的無知,或是將大量的隱藏變數或自由度有效地平均化而導致的結局。無論是投擲硬幣或骰子,或是旋轉輪盤賭桌,如果我們可以在分子層次上觀察世界,那麼這一切都將不再隨機。像奴隸一樣順從的宇宙機器,可以確保即使是最偶然的事件也隱藏著規律,儘管那些規律埋在讓人費解的謎團中。

然而,20世紀的兩個重大發展,卻把發條宇宙的想法摧毀殆盡。首先,是量子力學。量子物理學的核心在於海森堡的測不準原理。該原理指出,我們能夠測量的一切,都會受到真正隨機的波動影響。量子漲落的出現,並非因為人類的局限或是隱藏的自由度,而是因為它們是在原子層次上運作。例如,特定的放射性核確切的衰減時刻,在本質上是無法確定的。因此在自然之中,確實有真正的不可預測性存在。

儘管有測不準原理,但量子力學在某種意義上仍是個確定性理論。雖然特定量子過程的結果可能無法確定,但不同結果的相對機率,都是以確定的方式在演變的。這表示,你無法在任何特定的情況下,知道「投擲量子骰子」的結果是什麼,但你完全可以準確地知道每一個時刻的機率。作為統計理論,量子力學仍是確定性的。因此,量子物理把偶然性帶到現實的每個細節之中,但牛頓-拉普拉斯的世界觀仍在。

於是,隨之而來的是混沌理論。混沌的根本概念,已在19世紀和20世紀之交,出現在數學家昂利.龐加萊(Henri Poincaré)的著作中。但直到近年,尤其是隨著快速的電子計算機出現,人們才完全懂得混沌理論的意義。

混沌過程的重要特徵涉及隨時間變化的預測誤差。請讓我舉一個非混沌系統的例子,那就是簡單的鐘擺運動。想像一下,有兩個相同的鐘擺同步擺動,假設其中一個鐘擺稍微受到干擾,以至於它的運動和另一個鐘擺有一點不同。這種差異—或者是相位偏移—仍然很小,因為鐘擺仍在擺動。

當我們要預測一個簡單的鐘擺運動時,我們可以在某個瞬間測量擺動的位置和速度,並用牛頓定律來計算鐘擺隨後的行為。在初始的測量中,任何錯誤都會藉由計算而放大,並在預測中出現錯誤。以簡單的鐘擺來說,小小的輸入誤差意味著在預測計算中會出現小的輸出誤差;在典型的非混沌系統中,誤差會隨著時間而累積。然而這些錯誤只會隨時間成比例增加(也許是小指數),所以相對上仍然容易處理。

現在,我要把這個屬性拿來與混沌系統對比。在混沌系統裡,起初只有微小差異的兩個相同系統,很快便會長出巨大差異。事實上,混沌的特色是運動分殊的速度飛快。若把這個現象轉換成預測問題,便表示任何輸入的誤差,都會隨著預測時間增加而以指數的速率倍增,所以在很短的時間內,我們便無法計算它,所有預測的能力都會隨之喪失。因此,小的輸入誤差會在很短的程序中,膨脹到能破壞計算能力的程度。

球體鐘擺的例子,能充分說明可以混沌和非混沌行為之間的差異:鐘擺能自由地在兩個方向之間擺動。現實中,這鐘擺可能是繫在一條線上的一顆球。假如這個系統是繫在一個軸心上,並被驅動至一個高度,它就會開始擺動。過沒一會兒,它可能會出現一個穩定並完全可預測的運動模式,由擺動痕跡與驅動頻率畫出一條橢圓形路徑。然而,若稍微改變驅動頻率,這個規律的運動就會變得混亂,先是繼續以這種方式擺動,再來幾個順時針轉動,然後是幾個逆時針轉動,模式會變得十分隨機。

這種系統的隨機性,並非來自無數隱形自由度的影響。實際上,透過數學建模,我們只觀察得到三個自由度(三個可能的運動方向),但我們仍可說鐘擺的行為是隨機的—儘管從數學模型的角度看,它是嚴格被確定的。

人們向來認為確定論與可預測性密切相關,但我們現在知道事情不必然如此。透過一些動態的定律以及先前狀態,一個確定性系統的未來狀態已經完全決定好了。但是,決定論只有在無限精確的理想界線中,才有可預測性。例如在鐘擺的案例中,鐘擺的行為是由初始條件決定的,其中的初始數據包括擺動的位置,所以若想擁有精確的可預測性,我們必須使用一個實際的數字描述這個位置;而這數字要能說明,擺動的中心與一個固定點之間的距離。然而,我們不可能得到一個無限精確的數值。

任何預測的計算都會包含某些輸入錯誤,那是因為我們無法把物理量測量到無限精準的程度。而且,計算機也只能處理有限量的數據。

在非混沌系統中,這個局限不是很嚴重,因為錯誤只會緩緩擴大。但在混沌的系統中,錯誤會加速度增長。假設存在著一個不確定性,比如說第五個有效數字,它就會影響我們對系統在時間t之後的行為預測。更精確的分析也許能將不確定性降低到第十個有效數字,但是由於錯誤是以指數速度增長,意味著不確定性會在經過2t的時間後顯現出來。所以,初始的精準度若提高十萬倍,可預測性的跨度也只有兩倍。正是這種「對初始條件的敏感性」,導致了知名的「蝴蝶效應」觀點:在亞馬遜叢林中拍著翅膀的蝴蝶,引發美國德州出現龍捲風。

混沌顯然成了物理學定律與偶然律之間的橋梁。從某種意義上來說,也許除了量子理論之外,偶然或隨機事件確實可以歸咎於我們對細節的無知。但是布朗運動看來隨機,是因為我們忽略了大量的自由度;而確定性的混沌之所以看來隨機,卻是因為我們對幾個自由度的超級細節,絕對是無知的。而且,布朗混沌之所以很複雜,是因為分子撞擊本身就是一個複雜的過程;而球體鐘擺也很複雜,儘管這系統本身很單純。因此,複雜的行為並不表示一定有複雜的力量或定律。我們對混沌的研究已經顯示,我們確實有可能將物理世界中隨意又反覆無常的複雜性,以及自然法則中規律又簡單的行為,兩者協調在一起。我們該如何從拉普拉斯的那個發條世界,得出一個包含各式各樣混沌和非混沌系統的結論?那些混沌的可預測性極度有限,甚至於為了計算其行為,這樣的系統會迅速耗盡整個宇宙的能力。如此看來,似乎無法用數字計算出宇宙未來的行為,就算只計算了一小部分。更極端來說,宇宙就是它自己最快的模擬器。

這個結論確實非常深刻。它說明了,即使我們接受自然具有嚴格確定性的看法,宇宙的未來狀態在某種意義上也是「開放的」。有些人抓住了開放這點,藉此爭論說人類真的有自由意志。其他人則宣稱,這種開放性賦予自然創造的元素,能帶來真正新穎而且宇宙前所未有的東西,而這些就存在於理想化的實數之中。無論這種全面性主張有什麼好處,我們似乎能安心地從混沌研究中得到一個結論,那就是宇宙的未來並非全然固定的。用普里高津的話來說,這本龐大的宇宙之書,最後一章仍尚未寫成。

你那不確定的未來

本文節錄自:《偶然的科學:好運、隨機及機率背後的秘密》一書,新科學人(New Scientist)著,周群英譯,麥克.布魯克斯(Michael Brooks)編,八旗文化出版。

圖片來源:pakutaso

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