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以簡馭繁,鍛鍊思維

文 / 袁孝康    
1999-05-15
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以簡馭繁,鍛鍊思維
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數學——Mathematics,字尾的「tics」在希臘文原義是「技術」的意思;技術,是用來解決問題的。

四千多年前,居住在肥沃月彎及尼羅河流域的巴比倫人和埃及人,因為每年大河氾濫,而有田地劃分與丈量的問題,帶動了幾何學和測量技術的發展。當時數學就被視為解決測量問題的一種技術。

二次世界大戰時,聯軍龐大的後勤補給得以順暢運至各地戰場,與四○年代數學代數的發展關係密切。透過代數中「線性規劃」和「作業研究」建立的數學模型,聯軍得以計算出在有限條件下,最有效率、成本最低的運輸計畫,將後援物資自生產地運送到世界各地的戰場。

自然組的高三學生在念過微積分後,回過頭看牛頓的運動定律,重新認識了速度、加速度與位移的關係,一方面可能訝異過去不瞭解的公式在一夕之間變得清晰;另一方面可能對數學、物理與自然現象間的奇妙關係感到驚奇。

所學不離幾何、代數、分析數學三大範圍

這三個例子分別屬於「幾何」「代數」和「分析數學」,也是當代數學的三個主要領域,數學系四年所學均不脫離這三個範圍。

從高中數學的角度來說,「幾何」是處理「空間中圖形和位置」問題,在大學的課程包括幾何學、拓撲學等等。

「代數」主要分析「數值或資料結構」的問題,課程包含線性代數、近世代數、線性規劃、離散數學、作業研究、資料結構和數值分析等。代數強調將複雜的問題以簡化的數學模型處理,從研究生產作業流程的「作業研究」、強調「在有限條件下,求最佳解法」的「線性規劃」,或資訊工程上的「資料結構」「數值分析」,多少都會應用到它。

「分析數學」則在解決「函數」的相關問題,在大學的課程包括微積分、高等微積分、微分方程、實變函數論和複變函數論等。和高中不同的是,高中數學念的函數是有限次冪,大學接觸的函數則是「極限」概念下的函數,也就是無限次冪的函數。

由於分析數學在物理學和工程方面的應用極廣,所以,數學系學生在「分析」方面扎實的訓練基礎,成為他們轉向別的科系發展時與其他科系學生一較長短的利器。

在各校特色方面,中央大學數學系自一九七八年︵民國六十七年︶開始提倡「數學+電腦」教學,八十二學年度開設計算學程。二十多年發展下來,系上計算機實驗室的規模可媲美一些大學級的計算機中心。

中央大學計算機實驗室的吳維漢博士表示,良好的數學基礎,再加上計算機課程的訓練,使數學系成為中央大學三個資訊相關系所之一,在中央研究院資訊研究所內也有多位研究員是畢業校友。

全科大學——台大,擁有各領域的完善師資、完整的數學課程規劃與一流的學生,然而,近年來台大在整體表現上與其強勁的競爭者清大相較,似乎顯得略遜一籌。

台灣師範大學數學系的教育學程設計原本就結合了數學與教育的課程,與一般大學學生分別學習「數學」和「教育」理論相比,更具有實務基礎。如果從學生第二專長訓練評價的結果來看,師範大學的評價仍比一般大學好。

彰化師範大學數學系則更細緻地將必修課程區分為「試探課程」的系必修課程與「學程專精課程」。

「試探課程」部分,彰師大將一般大學五、六十學分的必修課精簡為三十一學分,留給學生更大的空間修課摸索,以瞭解自己的性向;「學程專精課程」分為「純數學程」和「應數學程」,精簡為各四十一學分供學生選修。彰化師範大學數學系系主任林英雄表示,彰師大鑑於一個人時間有限,所以精心設計學程,並精簡課程,給學生更大的空間修輔系,培養其他專長。

不是輕鬆易讀的學門

輔大數學系也將數學視為一種基礎科學的訓練,並提供數學與實務工作的介面課程,除了純數、計算數學、統計、資訊課程外,更結合業界人士合開「精算」「保險」等課程。

中正大學數學系在今年學群聲望評價中,以「最年輕的數學系」姿態擠入前三名,緊追在清大、台大之後,標榜「數學各領域的佼佼者不一定都在中正,但是中正一定有各領域的佼佼者」。

對於學程規劃,中正大學數學系系主任吳志揚自信滿滿。他指出,中正大學花了兩年的時間,徵詢業界意見、系內討論、協調校方、其他學院和學系,最後透過合聘的方式聘請其他學系的老師,特別針對數學系學生的需要開課。這些橫跨不同領域的學程包括應用數學、統計、物理、資訊和管理科學。

數學,不是一個輕鬆易讀的學門。焚膏繼晷的生活,對多數數學系的學生來說是家常便飯,對清大的學生而言,可能更是如此。

清大自創系以來就有夜間演習課,大一、大二必修的微積分、高等微積分、線性代數,在週一到週五的晚上都必須由研究所學長姊帶著上實習課。儘管現在的學生對這樣課程的接受度不高,但清大的堅持卻成為其教學上的一大特色。

除了涵蓋數學各領域的師資與課程外,清大更在最近開出了「計量財務」的菜單,希望在財務金融觀點的「財務工程」之外,從經濟學、管理學中,利用數量方法另闢數學谿徑。

數學,是複雜事物的簡練說明,鍛鍊思維的手段,還是接近上帝意志的語言?當你為適不適合念數學系而猶豫時,不妨認真地問問自己:數學是什麼?有什麼用?自己要的又是什麼?

就業出路

任何和「數量」相關的學門,只要在大學時有計畫地修課,數學系的學生幾乎都可以走。

只要修習教育學分,數學系學生可以擔任教職;或者修習統計,從事精算、保險的工作。如果對數學理論有興趣,除了數學研究所外,也可以念應數、統計和商數所;但是,念應數、統計和商數的學生要念純數就不容易了。

近代物理和計量化學,以及整個工程學科的發展都和數學息息相關。理學院其他科系或工程科系的學生,如果希望碩士後繼續深造,往往必須到數學系修大三或大四的數學理論課程,而數學系畢業生在轉往其他領域發展時,比較沒有這樣的問題。

若在校時修習一些代數課程,如計算機概論、資料結構、數值分析,將來可做電腦軟體工程師;修習線性規劃、作業研究等課程,可從事品管的相關工作。

另一方面,利用數學的計量背景,數學系學生可走商管、經濟或財務工程。

這幾年「財務工程學」迅速走紅,國外許多極優秀的財務工程學家,都是一些有著堅實計量背景的理工博士成功轉任的。因為,財務工程往往牽涉到相當複雜的計算,數理背景的人比較容易勝任。

學術界﹕數學、統計、應數、物理、經濟、財務工程、電機、資工等

製造業﹕品管分析師、研發工程師

資訊業﹕程式設計師、軟體設計師、系統分析師、研發工程師

金融服務業﹕精算師、風險分析師等

數學的思維讓

 生活和工作有效率

陳之望,二十九歲,台中一中畢業後因數學方面的優異表現保送台大數學系,大學畢業後進入清大經濟研究所,現任花旗銀行市場風險管理部襄理。執著「以簡馭繁」數學思維模式的他,優游於自然、人文科學的學術範疇中。

   ◆   ◆   ◆

整個看來,大學念的純粹數學理論和高中念的數學並不相同。高中數學和大學工科念的數學比較接近,重點都在於解題;數學系念的數學往往和數字沒什麼關係,主要是邏輯和理論觀念,而這些觀念距離現實生活可能很遙遠。數學系的理論課程對我而言並不困難。大二時,除了本系的課程外,我到物理系、電機系和資訊系修了一些課,摸索自己的性向。在修課的過程中,我發現自己對於「如何利用數學理論思考有效地解決生活上的問題」,比純粹數學理論推導更感興趣。

所以,在系上開的選修課程裡,我選修了一些應用的課程,像是如何透過數學思考有效降低實驗成本的「實驗計畫」,或是研究作業流程的「作業研究」等課程。

大二時,我曾任系刊的主編,做過一系列關於數學系學生未來出路的報導。在訪談的過程中,我瞭解到數學系學生的數學理論和計量背景,在轉向理工科系或其他領域發展時有相當的優勢。考量未來就業市場的狀況後,我選擇走向經濟學的領域。經濟學的領域中,有幾門課是必須用到稍微深一點的數學方法,這樣的課程常常令許多沒有念過高等微積分或微分方程的經濟系學生頭痛,但對我這種具理工背景的學生就顯得駕輕就熟、游刃有餘。

在我念大學時,「精算」在台灣是一個相當新的領域,台灣很缺乏這方面的人才,當時美國精算協會每半年到台灣舉行一次會員考試。對我而言,精算考試科目雖然多,但不困難。從大二暑假開始,我就自修參加考試,在研究所二年級時通過十科的考試,取得ASA(Associate Society Actuary)的準會員資格。

目前,我在花旗銀行市場風險管理部從事風險控管的工作,每天都必須對投資部門交易人員的投資方式做出即時的評估和控管。面對瞬息萬變的各類訊息,如何有效率而精確地提出投資建議,是工作上的主要挑戰。

整個來說,數學「執簡馭繁」的思維模式和嚴謹的邏輯訓練,足以讓我有條不紊、有效率地處理我的工作和生活。

(袁孝康採訪整理)

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