學校教過的數學法則當中，最簡單巧妙的大概就是「三角形的三個角加起來永遠是180度」。永遠是對的，沒有例外，不管是銳角三角形（三個角都小於90度）或鈍角三角形（其中一個角大於90度）、直角三角形、正三角形（三個邊及三個角都相等）、等腰三角形（有兩個邊及兩個角相等），還是不規則三角形（所有的邊與角都不相等）。
但是（你可能會想坐著聽我接下來要講的事），學校騙了你。三角形的三個角加起來不會永遠是180度，而且證據一直在你眼前。
一般人很自然會用歐氏幾何的角度來思考，這是平面上的幾何學，歐幾里得在西元前300年左右確立的。這個理論之所以說得通，是因為在平面紙張上畫幾何圖形，但實際上，地面只是近乎平面，兩者有很明顯的差異。生活在近似球形的地球表面上，傳統歐氏幾何幾乎無用武之地。
「三角形三個內角總和等於180度」這個法則，是歐幾里得第五公設的其中一種說法，第1章曾介紹過這個公設。第五公設的原始說法更複雜些：
若有一線段截兩條直線，在同側形成的兩個內角加起來小於兩個直角的話，則兩直線繼續延長，就會在兩內角總和小於兩個直角的那一側相交。
以上敘述如圖所示。兩條直線與第三條相交，形成的兩個交角都小於90度，表示這兩條線在歐氏平面幾何中一定會相交。
倘若這兩條直線不相交，就會互相平行。歐幾里得的第五公設表示，如果兩直線與第三條線相交且都成直角，則兩直線平行，因此它也稱為平行公設。稍微費一點工夫，就能證明這個說法等同於「三角形的三個角加起來是180度」，前提是三角形位在平面上。
隆起的圓
假設你站在兩條經線之間的一小段赤道上，你眼前的三條線（赤道及兩條經線）都屬於大圓，這些圓弧繞著地球最寬的地方，有最大的半徑（在地球表面上畫不出比這更大的圓了）。大圓也提供了距離最短的路徑。地球上任兩點之間的最短航線，就是這兩點之間的唯一大圓。大圓之於球面幾何，就如直線之於歐氏平面幾何，大圓是距離最短的路徑，因此也應該遵循同樣的法則。
但接下來你會大吃一驚。假如你蹲下來量兩條經線與赤道所成的夾角，會發現兩個角都是直角。可是，這兩條經線就像其他的經線一樣，會在南北兩極交會，彼此不平行。這是人人都熟悉的事物，卻正是平行公設的反例。
球面上的三角形，是由大圓的弧構成，它會往外隆起，三個角加起來超過180度，至於超過多少，要看三角形的大小而定。
若是小三角形，三個角的總和只比180度大一點點，因為就小區域而言，這塊地面近乎平面。但三角形愈大，比方說連接倫敦（英國）、明斯特（德國）、伯斯（澳洲）三地的三角形，三個角的總和也會隨之增加（見下圖）。
球面幾何與歐氏幾何從地圖上看差異特別明顯，畢竟地圖是把球面描繪在平面紙張上。任何一種平面世界地圖，都有某種程度的扭曲（第60章會談到）。最常使用的地圖繪製法叫做麥卡托投影（Mercator projection），製作出來的地圖在赤道附近相當準確，但靠近兩極的區域，距離及大小會過度放大，格陵蘭看上去比非洲大很多，可實際上它的面積差不多是非洲的十四分之一。
本文節錄自：《數學好有事》一書，瑪莉安．弗萊伯格（Marianne Freiberger）、瑞秋．湯瑪斯（Rachel Thomas）著，畢馨云譯，麥田出版。
圖片來源：pixabay
